第 4 講 加乘原理（2）

生活中常有這樣的情況：在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，在具體做的時(shí)候，只要采用其中某一類中的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的．那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來(lái)解決．

還有這樣的一種情況：就是在做一件事時(shí)，要分幾步才能完成，而在完成每一步時(shí)，又有幾種不同的方法．要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來(lái)解決．

二、加乘原理應(yīng)用

應(yīng)用加法原理和乘法原理時(shí)要注意下面幾點(diǎn)：

⑴加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和．

⑵乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積．

⑶在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨(dú)出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運(yùn)用好這兩大原理， 綜合分析，正確作出分類和分步．

加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問題可以使用加法原理解決．我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”．

乘法原理運(yùn)用的范圍：這件事要分幾個(gè)彼此互．不．影．響．的獨(dú)．立．步．驟．來(lái)完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺．一．不． 可．的．，這樣的問題可以使用乘法原理解決．我們可以簡(jiǎn)記為：“乘法分步，步步相關(guān)”．

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1、五面五種顏色的小旗，任意取出幾面排成一行表示各種信號(hào)，問：共可以表示多少種不同的信號(hào)？

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【解析】分 5 種情況：

⑴取出一面，有 5 種信號(hào)；

⑵取出兩面：可以表示5′?4 =?20 種信號(hào)；

⑶取出三面：可以表示： 5′?4 ′?3 =?60 種信號(hào)；

（4）取出四面：可以表示： 5′?4′?3′?2 =120 種信號(hào)；

（4）取出五面：可以表示： 5′?4′?3′?2′1 =120 種信號(hào)；

由加法原理，一共可以表示： 5 +?20 +?60 +120 +120 =?325 種信號(hào)．

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2、五種顏色不同的信號(hào)旗，各有 5 面，任意取出四面排成一行，表示一種信號(hào)，問：共可以表示多少種不同的信號(hào)？

【解析】每一個(gè)位置都有 5 種顏色可選，所以共有5′?5′?5′?5 =?625 種

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3、由數(shù)字 4，5，7，8?可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？

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【解析】2+6+12+12=32

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4、由數(shù)字 0，1，2，3，4，5 可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)？ 解答：3+13+52+156+312+312=848

5、有 5 張卡，分別寫有數(shù)字 2，3，4，5，6．如果允許 6 可以作 9 用，那么從中任意取出 3 張卡片，并排放在一起．問

（1）可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？

（2）可以組成多少個(gè)不同的三位偶數(shù)？

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（1）96

有?6 4×3×3=36

有?9 4×3×3=36

無(wú)?69 4×3×2=24

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（2）48

有?6?在末尾 4×3×1=12

有?6?不在末尾 3×2×2=12

有?9 3×2×2=12

無(wú)?69 3×2×2=12

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6、媽媽買了 7 件不同的禮物，要送給親朋好友的 4 個(gè)孩子每人一件．其中姐姐的兒子小強(qiáng)想從智力拼圖和遙

控汽車中選一個(gè)，朋友的女兒小玉想從學(xué)習(xí)機(jī)和遙控汽車中選一件．那么，媽媽送出這?4?件禮物共有? 種方法．

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【解析】若將遙控汽車給小強(qiáng)，則學(xué)習(xí)機(jī)要給小玉，此時(shí)另外2 個(gè)孩子在剩余5 件禮物中任選2 件，有5′?4 =?60

種方法；若將遙控車給小玉，則智力拼圖要給小強(qiáng)，此時(shí)也有 20 種方法；若遙控車既不給小強(qiáng)、也

不給小玉，則智力拼圖要給小強(qiáng)，學(xué)習(xí)機(jī)要給小玉，此時(shí)仍然有 20 種方法．所以共有 60 種方法．

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7、某件工作需要鉗工 2 人和電工 2 人共同完成．現(xiàn)有鉗工 3 人、電工 3 人，另有 1 人鉗工、電工都會(huì)．從 7

人中挑選 4 人完成這項(xiàng)工作，共有多少種方法？（6 級(jí)）

【解析】分兩類情況討論：

⑴都會(huì)的這 1 人被挑選中，則有：

①如果這人做鉗工的話，則再按乘法原理，先選一名鉗工有 3 種方法，再選 2 名電工也有 3 種方法；

所以有3′?3 =?9 種方法；

②同樣，這人做電工，也有 9 種方法．

⑵都會(huì)的這一人沒有被挑選，則從 3 名鉗工中選 2 人，有 3 種方法；從 3 名電工中選 2 人，也有 3

種方法，一共有3′?3 =?9 種方法．

所以，根據(jù)加法原理，一共有9 +?9 +?9 =?27 種方法．

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8、玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共4?節(jié)，用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色．這家廠共可生產(chǎn)? 種顏色不同的玩具棒．

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【解析】每節(jié)有3 種涂法，共有涂法3′?3′?3′?3 =?81 (種)．但上述81 種涂法中，有些涂法屬于重復(fù)計(jì)算，這是因?yàn)橛行┯螒虬舻惯^(guò)來(lái)放時(shí)的顏色與順著放時(shí)的顏色一樣，卻被我們當(dāng)做兩種顏色計(jì)算了兩次．

可以發(fā)現(xiàn)只有游戲棒的顏色關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱時(shí)才沒有被重復(fù)計(jì)算， 關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱的游戲棒有

3′?3′1′1 =?9 (種)．故玩具棒最多有(81+?9) ??2 =?45 種不同的顏色．

9、從 6 名運(yùn)動(dòng)員中選出 4 人參加4 ′100 接力賽，求滿足下列條件的參賽方案各有多少種：

⑴甲不能跑第一棒和第四棒；

⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒

【解析】⑴先確定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有 5?種選擇，第四棒有 4?種選擇，剩下的四人中隨意選擇 2?個(gè)人跑第二、第三棒，有4?′?3?=?12?種，由乘法原理，共有： 5′?4?′12?=?240?種參賽方案

⑵先不考慮甲乙的特殊要求，從 6 名隊(duì)員中隨意選擇 4 人參賽，有6′?5′?4′?3 =?360 種選擇.考慮若甲

跑第一棒，其余 5 人隨意選擇 3 人參賽，對(duì)應(yīng)5′?4 ′?3 =?60 種選擇，考慮若乙跑第二棒，也對(duì)應(yīng)

5′?4 ′?3 =?60 種選擇，但是從 360 種中減去兩個(gè) 60 種的時(shí)候，重復(fù)減了一次甲跑第一棒且乙跑第

二棒的情況，這種情況下，對(duì)應(yīng)于第一棒第二棒已確定只需從剩下的 4 人選擇 2 人參賽的4 ′?3 =?12

種方案，所以，一共有360 -?60′?2 +12 =?252 種不同參賽方案．

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10、七位數(shù)的各位數(shù)字之和為 60 ，這樣的七位數(shù)一共有多少個(gè)？

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【解析】七位數(shù)數(shù)字之和最多可以為9 ′?7 =?63． 63 -?60 =?3 ．七位數(shù)的可能數(shù)字組合為：

①9，9，9，9，9，9，6．

第一種情況只需要確定 6 的位置即可．所以有 6 種情況．

②9，9，9，9，9，8，7．

第二種情況只需要確定 8 和 7 的位置，數(shù)字即確定．8 有 7 個(gè)位置，7 有 6 個(gè)位置．所以第二種情況

可以組成的 7 位數(shù)有7 ′?6 =?42 個(gè)．

③9，9，9，9，8，8，8，

第三種情況，3 個(gè) 8 的位置確定即 7 位數(shù)也確定．三個(gè) 8 的位置放置共有7 ′?6′?5 =?210 種． 三個(gè)相同的 8 放置會(huì)產(chǎn)生3′?2 ′1?=?6 種重復(fù)的放置方式．

所以 3 個(gè) 8 和 4 個(gè) 9 組成的不同的七位數(shù)共有210 ??6 =?35 種．

所以數(shù)字和為 60 的七位數(shù)共有35 +?42 +?7 =?84 ．

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11、從1到2006這2006個(gè)數(shù)中,共有多少個(gè)數(shù)與四位數(shù)8765相加時(shí),至少發(fā)生一次進(jìn)位？

【解析】1887。

先看相加時(shí)一次進(jìn)位也沒有的數(shù)有多少。

個(gè)位數(shù)可以是 0，1，2，3，4，有 5?種選擇； 十位數(shù)可以是 0，1，2，3，有 4?種選擇；

百位數(shù)可以是 0，1，2，有 3?種選擇； 千位數(shù)可以是 0，1，有 2?種選擇。

除去 0，

5×4×3×2-1＝119(個(gè))。

至少發(fā)生一次進(jìn)位的數(shù)有 2006-119=1887(個(gè))。

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12、如圖所示的電子鐘可顯示從 00：00：00 到 23：59：59 的時(shí)間，在一晝夜內(nèi)（24 小時(shí)）鐘表上顯示的時(shí)間恰由數(shù)字 l，2，3，4，5，6 組成的共有多少種？

【解析】96

記時(shí)間為 ab：cd：ef，a 只能為 1 或 2。

當(dāng) a 為 1 時(shí)，c、e 不能為 1 或 6，b、d、f 不能為 1，有 4×3×3×2×1=72 種；

當(dāng) a?為 2?時(shí)，b?只能為 1?或 3，c、e?不能為 2?或 6，不能與 b?同，有 2×3×2×2×1=24?種；所以共有 72＋24=96?種。

13、由數(shù)字?0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列，2008?排在第? 個(gè)．

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【解析】比?2008?小的4?位數(shù)有2000?和2002?，比2008?小的3?位數(shù)有2?′?3′?3?=?18?（種），比2008?小的2?位數(shù)有

2?′?3?=?6?（種），比2008?小的1?位數(shù)有2?（種），所以2008?排在第2?+18?+?6?+?2?+1?=?29?（個(gè)）．

14、自然數(shù) 8336，8545，8782 有一些共同特征，每個(gè)數(shù)都是以 8 開頭的四位數(shù)，且每個(gè)數(shù)中恰好有兩個(gè)數(shù)字相同．這樣的數(shù)共有多少個(gè)？

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【解析】兩個(gè)相同的數(shù)字是8 時(shí)，另一個(gè)8 有3 個(gè)位置可選，其余兩個(gè)位置有9 ′8?=?72 種填法，有 3′?9 ′8?=?216

個(gè)數(shù)；

兩個(gè)相同的數(shù)字不是 8 時(shí)，相同的數(shù)字有 9 種選法，不同的數(shù)字有 8 種選法，并有 3 個(gè)位置可放， 有9′8′?3 =?216 個(gè)數(shù)．

由加法原理，共有3′?9′8 +?9 ′8′?3 =?432 個(gè)數(shù)．

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15、如果一個(gè)三位數(shù)?ABC?滿足?A?>?B?，?B?<?C?，那么把這個(gè)三位數(shù)稱為“凹數(shù)”，求所有“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)．

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【解析】當(dāng) B 為0 時(shí)， A 、C 可以為 1～9 中的任何一個(gè)，此時(shí)有9 ′?9 種；當(dāng) B 為1 時(shí)， A 、C 可以為 2～9

中的任何一個(gè)，此時(shí)有8 ′?8 種；……；當(dāng) B 為8 時(shí)，有1′1種；所以共有

9?′?9?+?8?′?8?+ +1′1?=?1?′?9?′10?′19?=?285?(個(gè))．

6

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16、如圖，將?1，2，3，4，5?分別填入圖中1′?5?的格子中，要求填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大．共有? 種不同的填法．

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【解析】因?yàn)橐?/span>“填在黑格里的數(shù)比它旁邊的兩個(gè)數(shù)都大”，所以填入黑格中的數(shù)不能夠太小，否則就不滿足條件．通過(guò)枚舉法可知填入黑格里的數(shù)只有兩類：第一類，填在黑格里的數(shù)是 5 和 4；第二類， 填在黑格里的數(shù)是 5 和 3．接下來(lái)就根據(jù)這兩類進(jìn)行計(jì)數(shù)：

第一類，填在黑格里的數(shù)是 5 和 4 時(shí)，分為以下幾步：第一步，第一個(gè)黑格可從 5 和 4 中任選一個(gè)，

有 2 種選法；第二步，第二個(gè)黑格可從 5 和 4 中剩下的一個(gè)數(shù)選擇，只有 1 種選法；第三步，第一個(gè)白格可從 1，2，3 中任意選一個(gè)，有 3 種選法．第四步，第二個(gè)白格從 1，2，3 剩下的兩個(gè)數(shù)中任選一個(gè)， 有 2 種選法； 第五步， 最后一個(gè)白格只有 1 種選法． 根據(jù)乘法原理， 一共有(2?′1) ′?(3′?2 ′1) =?12 種．

第二類，填在黑格里的數(shù)是 5 和 3 時(shí)，黑格中有兩種填法，此時(shí)白格也有兩種填法，根據(jù)乘法原理，

不同的填法有2 ′?2 =?4 種．

所以，根據(jù)加法原理，不同的填法共有12 +?4 =16 種．

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17、一個(gè)自然數(shù)，如果它順著看和倒過(guò)來(lái)看都是一樣的，那么稱這個(gè)數(shù)為“回文數(shù)”．例如?1331，7，202?都是回文數(shù)，而 220 則不是回文數(shù)．問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個(gè)?其中的第 1996 個(gè)數(shù)是多少?

【解析】我們將回文數(shù)分為一位、二位、三位、…、六位來(lái)逐組計(jì)算． 所有的一位數(shù)均是“回文數(shù)”，即有?9?個(gè)；

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在二位數(shù)中，必須為aa 形式的，即有 9 個(gè)(因?yàn)槭孜徊荒転?0，下同)；

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在三位數(shù)中，必須為 aba ( a 、b 可相同，在本題中，不同的字母代表的數(shù)可以相同)形式的，即有

9×10 =90 個(gè)；

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在四位數(shù)中，必須為abba 形式的，即有 9×10 個(gè)；

在五位數(shù)中，必須為abcba 形式的，即有 9×10×10=900 個(gè)； 在六位數(shù)中，必須為abccba 形式的，即有 9×10×10=900 個(gè)．

所以共有 9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998 個(gè)，最大的為 999999，其次為 998899，再次為 997799．

而第 1996 個(gè)數(shù)為倒數(shù)第 3 個(gè)數(shù)，即為 997799．

所以，從一位到六位的回文數(shù)一共有 1998 個(gè)，其中的第 1996 個(gè)數(shù)是 997799．

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【回家作業(yè)】

1、在 200 至 1999 這些自然數(shù)中個(gè)位數(shù)大于百位數(shù)的有多少個(gè)?

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【解析】810

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2、從 1 到 100 的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字 4 與 5 的自然數(shù)有多少個(gè)?

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【解析】64

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3、一個(gè)半圓周上共有 12 個(gè)點(diǎn)，直徑上 5 個(gè)，圓周上 7 個(gè)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以畫出多少個(gè)三角形？（6 級(jí)）

【解析】第一類：三角形三個(gè)頂點(diǎn)都在圓周上，這樣的三角形一共有7 ′?6 ′?5 ?（3′?2 ′1）=?35 種； 第二類：三角形兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，這樣的三角形一共有7 ′?6 ?（2 ′1）′?5 =?105 種；

第三類：三角形一個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，這樣的三角形一共有7 ′?5′?4 ?（2 ′1）=?70 種； 根據(jù)加法原理，一共可以畫出35 +105 +?70 =?210 種．

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4、三條平行線上分別有 2，4，3 個(gè)點(diǎn)(下圖)，已知在不同直線上的任意三個(gè)點(diǎn)都不共線．問：以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫出多少個(gè)不同的三角形？（6?級(jí)）

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［分析］(方法一)本題分三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在兩條直線上和三條直線上兩種情況

⑴三個(gè)頂點(diǎn)在兩條直線上，

一共有4′?3 ??2′?2 +?3′?2 ??2′?2 +?3′?2 ??2′?4 +?4′?3 ??2′?3 +?4 +?3 =?55 個(gè)